Der Kreis zwischen den Kreisen

Kreis-zwischen-KreisenEin kleines Rätsel:

Drei Euromünzen berühren sich. Welchen Durchmesser hat der kleine gelbe Kreis zwischen den Münzen wenn eine 1-Euromünze einen Durchmesser von 23,25 mm hat?

Das Problem mit den „Kreis zwischen den Kreisen“ verfolgt uns auch Schritt und Tritt:

Lösungsansatz 1

Die Mittelpunke der Münzen bilden die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge D=23,25mm. Die Ecken (=Mittelpunkte der Münzen) nennen wie E.

Der Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks mit den Eckpunkten E bilden gleichzeitig den Mittelpunkt des kleiner gelben Kreises. Wir nennen dem Mittelpunkt den gls. Dreiecks M.

Wir nennen den Radius des kleinen gelben Kreises einfach R, wobei der gesuchte Durchmesser 2*R entspricht.

Lösung

Die Lösung ist unsichtbar: weiße Schrift auf weißem Grund. Also einfach den folgenden Text markieren und schon wird die Lösung sichtbar:

  1. Der Radius des kleinen gelben Kreises ist die Differenz der Strecke EM und dem Radius der Münze, also D/2
  2. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Innenwinkel 60°
  3. Die Hälfte der Strecke EE = D/2, ein Teil der Mittelsenkrechte der Strecke EE sowie die Strecke EM bilden ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem Eckwinkel 60°/2=30°
  4. Die Strecke EM ist die Hypotenuse, D/2 die Ankathete. Also ergibt sich EM = D/2 / (cos 30°) = D / (2 cos 30°) = D / √3
  5. Die Differenz EM – D/2 ist der Radius R vom kleinen gelben Kreis. 2*R = 2* (EM – D/2) = 2*D/√3 -D
  6. Durchmesser = 2*R = D (2/√3-1)
  7. Mit D=23,25 mm beträgt der Durchmesser vom kleinen gelben Kreis ~ 3,5968 mm

Lösungsansatz 2

Wer es geschickter lösen möchte schaut sich den Satz von Descartes an.

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