Das Zie­gen­pro­blem

Das Zie­gen­pro­blem beschäf­tigt vie­le Hob­by­ma­the­ma­ti­ker, Sta­tis­ti­ker und Buch­au­toren. Der Autor Gero von Ran­dow hat im Rowohlt Taschen­buch Ver­lag das Buch Das Zie­gen­pro­blem — Den­ken in Wahr­schein­lich­kei­ten ver­öf­fent­licht. Das Buch han­gelt sich am Zie­gen­pro­blem ent­lang und erläu­tert in vie­len Bei­spie­len den rich­ti­gen Umgang mit Wahrscheinlichkeiten.

Das Pro­blem

Eine Spiel­show im Fern­se­hen und Sie sind der Kandidat:

Der Haupt­ge­winn, ein Auto, ver­steckt sich hin­ter einem der drei Tore. Hin­ter den ande­ren bei­den Toren war­ten gedul­dig jeweils eine Zie­ge. Der Mode­ra­tor bit­tet Sie nun, ein Tor zu wäh­len. Sie wäh­len ein Tor (z.B. Tor 3) aus. Der Mode­ra­tor öff­net nun ein ande­res Tor (z.B. Tor 1) und eine Zie­ge schaut ver­dutzt in die Kamera.

Nun fragt der Mode­ra­tor, ob Sie ihre ers­te Aus­wahl (Tor 3) bei­be­hal­ten möch­ten oder lie­ber wech­seln und eine ande­re Aus­wahl (Tor 2) tref­fen möchten.

Wie wür­den Sie ent­schei­den? Erhöht der nach­träg­li­che Wech­sel Ihre Gewinn­chan­ce oder bleibt es bei der ursprüng­li­chen Chan­ce von 33,3% ?

Die Simu­la­ti­on

Ich habe mit eini­gen php-Code­zei­len eine Simu­la­ti­on erstellt. Die Simu­la­ti­on nutzt die php-Funk­ti­on mt_rand() um “zufäl­lig” ein Tor zu wäh­len. Die nach­fol­gen­de Tabel­le zeigt 50 zufäl­li­ge Stich­pro­ben:

No.Gewinn
(Tor)
Kan­di­dat
(1. Wahl)
Mode­ra­tor
(öff­net Tor)
Kan­di­dat
(2. Wahl)
12231
21123
32213
43123
53123
63321
71132
81321
92132
103312
113213
121123
133123
142312
152213
163213
172213
181132
192132
203312
211321
221231
233213
242132
252213
262312
271123
283213
292312
301231
313123
323321
331321
341231
352312
361231
371231
382231
393312
403321
412132
423123
431231
442132
452213
463123
473312
483213
492213
503123
2030
40.0 %60.0 %

Wie Sie sehen, wür­de der Wech­sel (Spal­te “2. Wahl”) Ihre Gewinn­chan­ce erhö­hen. Im Gegen­satz zur ursprüng­li­chen Wahl (Spal­te “1. Wahl”) erhöht sich Ihre Gewinn­chan­ce von ∅ 33,3% auf ∅ 66,6% und beträgt damit mehr als 50,0%.

Wenn Sie die­sen Ver­such noch­mal aus­füh­ren möch­ten, dann laden Sie die Sei­te ein­fach neu. Oder star­ten Sie die Die Simu­la­ti­on ohne WordPress:

Erklä­rungs­ver­su­che

Die meis­ten Men­schen wür­den nicht wech­seln und ihre ursprüng­li­che Wahl bei­be­hal­ten. Nach­dem der Mode­ra­tor ein Tor geöff­net hat, blei­ben zwei Tore über. Hin­ter einem der bei­den Tore muss der Gewinn war­ten und so den­ken die meis­ten Men­schen, dass die Gewinn­chan­ce bei 1/2 bzw. 50% liegt. Nur weni­ge Men­schen kön­nen sich vor­stel­len, dass ein Wech­sel die Gewinn­chan­ce auf 2/3 bzw. 66,6% stei­gert. Die Simu­la­ti­on zeigt jedoch, dass sich die meis­ten Men­schen irren.

2/3 = 0/3 + 2/3

Zu Beginn beträgt die Gewinn­wahr­schein­lich­keit je 1/3. Wenn der Kan­di­dat sich bei der ers­ten Wahl für eines der drei Tore ent­schei­det, so rech­net er sich eine Gewinn­chan­ce von 1/3 aus. Die ande­ren bei­den Tore erge­ben somit eine 2/3 Gewinn­chan­ce, aber der Kan­di­dat muss sich für ein Tor entscheiden.

Der Mode­ra­tor öff­net immer ein Tor mit einer Zie­ge, also ein Tor mit einer Gewinn­wahr­schein­lich­keit von 0/3 bzw. 0%. Weil bei­de Tore zusam­men eine Gewinn­wahr­schein­lich­keit von 2/3 haben, das geöff­ne­te Tor jedoch nichts bei­trägt, soll­te der Kan­di­dat unbe­dingt wech­seln, denn das ver­blei­ben­de Tor reprä­sen­tiert eine Gewinn­chan­ce von 2/3

Mode­ra­to­ren­pech

Der Mode­ra­tor weiß wo der Gewinn ver­steckt ist und öff­net daher immer ein Tor mit einer Zie­ge! Wenn der Kan­di­dat bei der ers­ten Wahl auf Anhieb das Gewin­ner­tor mit dem Auto gewählt hät­te, so hät­te der Mode­ra­tor im nächs­ten Schritt die Wahl zwi­schen zwei Ver­lie­rer­to­ren. Ein nach­träg­li­cher Wech­sel wäre für den Kan­di­da­ten nicht gut!

Wenn der Kan­di­dat in der ers­ten Wahl jedoch eines der bei­den Ver­lie­rer­tor wäh­len wür­de, so müss­te der Mode­ra­tor in bei­den Fäl­len das ver­blei­ben­de Verie­rer­tor mit Zie­ge öff­nen. Das ver­blei­ben­de Tor wäre immer das Gewin­ner­tor! Der Kan­di­dat hät­te also bei einem Wech­sel in zwei von drei Fäl­len eine siche­re Gewinnchance!

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