Das Ziegenproblem

Das Ziegenproblem beschäftigt viele Hobbymathematiker, Statistiker und Buchautoren. Der Autor Gero von Randow hat im Rowohlt Taschenbuch Verlag das Buch Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten veröffentlicht. Das Buch hangelt sich am Ziegenproblem entlang und erläutert in vielen Beispielen den richtigen Umgang mit Wahrscheinlichkeiten.

Das Problem

Eine Spielshow im Fernsehen und Sie sind der Kandidat:

Der Hauptgewinn, ein Auto, versteckt sich hinter einem der drei Tore. Hinter den anderen beiden Toren warten geduldig jeweils eine Ziege. Der Moderator bittet Sie nun, ein Tor zu wählen. Sie wählen ein Tor (z.B. Tor 1) aus. Der Moderator öffnet nun ein anderes Tor (z.B. Tor 3) und eine Ziege schaut verdutzt in die Kamera.

Nun fragt der Moderator, ob Sie ihre erste Auswahl (Tor 1) beibehalten möchten oder lieber wechseln und eine andere Auswahl (Tor 2) treffen möchten.

Wie würden Sie entscheiden? Erhöht der nachträgliche Wechsel Ihre Gewinnchance oder bleibt es bei der ursprünglichen Chance von 33,3% ?

Die Simulation

Ich habe mit einigen php-Codezeilen eine Simulation erstellt. Die Simulation nutzt die php-Funktion mt_rand() um „zufällig“ ein Tor zu wählen. Die nachfolgende Tabelle zeigt 50 zufällige Stichproben:

No.Gewinn
(Tor)
Kandidat
(1. Wahl)
Moderator
(öffnet Tor)
Kandidat
(2. Wahl)
12132
22312
31321
41132
52213
61123
71321
82312
92312
101321
111231
121123
133123
141123
152231
161321
172312
181123
192132
201231
212312
222132
233123
242231
251132
261321
272312
282132
292312
303213
311231
323123
331321
342132
352132
361123
372231
381231
392312
401132
411132
421231
433213
441123
452132
461321
471321
482231
491321
503321
1634
32.0 %68.0 %

Wie Sie sehen, würde der Wechsel (Spalte „2. Wahl“) Ihre Gewinnchance erhöhen. Im Gegensatz zur ursprünglichen Wahl (Spalte „1. Wahl“) erhöht sich Ihre Gewinnchance von ∅ 33,3% auf ∅ 66,6% und beträgt damit mehr als 50,0%.

Wenn Sie diesen Versuch nochmal ausführen möchten, dann laden Sie die Seite einfach neu. Oder starten Sie die Die Simulation ohne WordPress:

Erklärungsversuche

Die meisten Menschen würden nicht wechseln und ihre ursprüngliche Wahl beibehalten. Nachdem der Moderator ein Tor geöffnet hat, bleiben zwei Tore über. Hinter einem der beiden Tore muss der Gewinn warten und so denken die meisten Menschen, dass die Gewinnchance bei 1/2 bzw. 50% liegt. Nur wenige Menschen können sich vorstellen, dass ein Wechsel die Gewinnchance auf 2/3 bzw. 66,6% steigert. Die Simulation zeigt jedoch, dass sich die meisten Menschen irren.

2/3 = 0/3 + 2/3

Zu Beginn beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit je 1/3. Wenn der Kandidat sich bei der ersten Wahl für eines der drei Tore entscheidet, so rechnet er sich eine Gewinnchance von 1/3 aus. Die anderen beiden Tore ergeben somit eine 2/3 Gewinnchance, aber der Kandidat muss sich für ein Tor entscheiden.

Der Moderator öffnet immer ein Tor mit einer Ziege, also ein Tor mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 0/3 bzw. 0%. Weil beide Tore zusammen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 haben, das geöffnete Tor jedoch nichts beiträgt, sollte der Kandidat unbedingt wechseln, denn das verbleibende Tor repräsentiert eine Gewinnchance von 2/3

Moderatorenpech

Der Moderator weiß wo der Gewinn versteckt ist und öffnet daher immer ein Tor mit einer Ziege! Wenn der Kandidat bei der ersten Wahl auf Anhieb das Gewinnertor mit dem Auto gewählt hätte, so hätte der Moderator im nächsten Schritt die Wahl zwischen zwei Verlierertoren. Ein nachträglicher Wechsel wäre für den Kandidaten nicht gut!

Wenn der Kandidat in der ersten Wahl jedoch eines der beiden Verlierertor wählen würde, so müsste der Moderator in beiden Fällen das verbleibende Verierertor mit Ziege öffnen. Das verbleibende Tor wäre immer das Gewinnertor! Der Kandidat hätte also bei einem Wechsel in zwei von drei Fällen eine sichere Gewinnchance!

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