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Das Zie­gen­pro­blem

    Das Zie­gen­pro­blem beschäf­tigt vie­le Hob­by­ma­the­ma­ti­ker, Sta­tis­ti­ker und Buch­au­toren. Der Autor Gero von Ran­dow hat im Rowohlt Taschen­buch Ver­lag das Buch Das Zie­gen­pro­blem – Den­ken in Wahr­schein­lich­kei­ten ver­öf­fent­licht. Das Buch han­gelt sich am Zie­gen­pro­blem ent­lang und erläu­tert in vie­len Bei­spie­len den rich­ti­gen Umgang mit Wahr­schein­lich­kei­ten.

    Das Pro­blem

    Eine Spiel­show im Fern­se­hen und Sie sind der Kan­di­dat:

    Der Haupt­ge­winn, ein Auto, ver­steckt sich hin­ter einem der drei Tore. Hin­ter den ande­ren bei­den Toren war­ten gedul­dig jeweils eine Zie­ge. Der Mode­ra­tor bit­tet Sie nun, ein Tor zu wäh­len. Sie wäh­len ein Tor (z.B. Tor 3) aus. Der Mode­ra­tor öff­net nun ein ande­res Tor (z.B. Tor 1) und eine Zie­ge schaut ver­dutzt in die Kame­ra.

    Nun fragt der Mode­ra­tor, ob Sie ihre ers­te Aus­wahl (Tor 3) bei­be­hal­ten möch­ten oder lie­ber wech­seln und eine ande­re Aus­wahl (Tor 2) tref­fen möch­ten.

    Wie wür­den Sie ent­schei­den? Erhöht der nach­träg­li­che Wech­sel Ihre Gewinn­chan­ce oder bleibt es bei der ursprüng­li­chen Chan­ce von 33,3% ?

    Die Simu­la­ti­on

    Ich habe mit eini­gen php-Code­zei­len eine Simu­la­ti­on erstellt. Die Simu­la­ti­on nutzt die php-Funk­ti­on mt_rand() um “zufäl­lig” ein Tor zu wäh­len. Die nach­fol­gen­de Tabel­le zeigt 50 zufäl­li­ge Stich­pro­ben:

    No.Gewinn
    (Tor)
    Kan­di­dat
    (1. Wahl)
    Mode­ra­tor
    (öff­net Tor)
    Kan­di­dat
    (2. Wahl)
    11321
    22132
    33123
    42312
    51321
    62231
    73213
    81132
    91132
    102312
    113213
    121231
    133213
    142132
    151231
    161321
    171231
    182132
    193213
    203321
    212312
    222312
    232231
    241321
    253213
    262312
    272132
    283312
    291231
    301231
    313123
    322132
    333312
    342312
    351231
    362231
    372312
    382312
    392213
    401321
    413312
    423213
    433213
    441231
    452312
    463213
    471123
    481231
    492132
    503213
    1139
    22.0 %78.0 %

    Wie Sie sehen, wür­de der Wech­sel (Spal­te “2. Wahl”) Ihre Gewinn­chan­ce erhö­hen. Im Gegen­satz zur ursprüng­li­chen Wahl (Spal­te “1. Wahl”) erhöht sich Ihre Gewinn­chan­ce von ∅ 33,3% auf ∅ 66,6% und beträgt damit mehr als 50,0%.

    Wenn Sie die­sen Ver­such noch­mal aus­füh­ren möch­ten, dann laden Sie die Sei­te ein­fach neu. Oder star­ten Sie die Die Simu­la­ti­on ohne Wor­d­Press:

    Erklä­rungs­ver­su­che

    Die meis­ten Men­schen wür­den nicht wech­seln und ihre ursprüng­li­che Wahl bei­be­hal­ten. Nach­dem der Mode­ra­tor ein Tor geöff­net hat, blei­ben zwei Tore über. Hin­ter einem der bei­den Tore muss der Gewinn war­ten und so den­ken die meis­ten Men­schen, dass die Gewinn­chan­ce bei 1/2 bzw. 50% liegt. Nur weni­ge Men­schen kön­nen sich vor­stel­len, dass ein Wech­sel die Gewinn­chan­ce auf 2/3 bzw. 66,6% stei­gert. Die Simu­la­ti­on zeigt jedoch, dass sich die meis­ten Men­schen irren.

    2/3 = 0/3 + 2/3

    Zu Beginn beträgt die Gewinn­wahr­schein­lich­keit je 1/3. Wenn der Kan­di­dat sich bei der ers­ten Wahl für eines der drei Tore ent­schei­det, so rech­net er sich eine Gewinn­chan­ce von 1/3 aus. Die ande­ren bei­den Tore erge­ben somit eine 2/3 Gewinn­chan­ce, aber der Kan­di­dat muss sich für ein Tor ent­schei­den.

    Der Mode­ra­tor öff­net immer ein Tor mit einer Zie­ge, also ein Tor mit einer Gewinn­wahr­schein­lich­keit von 0/3 bzw. 0%. Weil bei­de Tore zusam­men eine Gewinn­wahr­schein­lich­keit von 2/3 haben, das geöff­ne­te Tor jedoch nichts bei­trägt, soll­te der Kan­di­dat unbe­dingt wech­seln, denn das ver­blei­ben­de Tor reprä­sen­tiert eine Gewinn­chan­ce von 2/3

    Mode­ra­to­ren­pech

    Der Mode­ra­tor weiß wo der Gewinn ver­steckt ist und öff­net daher immer ein Tor mit einer Zie­ge! Wenn der Kan­di­dat bei der ers­ten Wahl auf Anhieb das Gewin­ner­tor mit dem Auto gewählt hät­te, so hät­te der Mode­ra­tor im nächs­ten Schritt die Wahl zwi­schen zwei Ver­lie­rer­to­ren. Ein nach­träg­li­cher Wech­sel wäre für den Kan­di­da­ten nicht gut!

    Wenn der Kan­di­dat in der ers­ten Wahl jedoch eines der bei­den Ver­lie­rer­tor wäh­len wür­de, so müss­te der Mode­ra­tor in bei­den Fäl­len das ver­blei­ben­de Verie­rer­tor mit Zie­ge öff­nen. Das ver­blei­ben­de Tor wäre immer das Gewin­ner­tor! Der Kan­di­dat hät­te also bei einem Wech­sel in zwei von drei Fäl­len eine siche­re Gewinn­chan­ce!

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