Das Ziegenproblem

Das Ziegenproblem beschäftigt viele Hobbymathematiker, Statistiker und Buchautoren. Der Autor Gero von Randow hat im Rowohlt Taschenbuch Verlag das Buch Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten veröffentlicht. Das Buch hangelt sich am Ziegenproblem entlang und erläutert in vielen Beispielen den richtigen Umgang mit Wahrscheinlichkeiten.

Das Problem

Eine Spielshow im Fernsehen und Sie sind der Kandidat:

Der Hauptgewinn, ein Auto, versteckt sich hinter einem der drei Tore. Hinter den anderen beiden Toren warten geduldig jeweils eine Ziege. Der Moderator bittet Sie nun, ein Tor zu wählen. Sie wählen ein Tor (z.B. Tor 1) aus. Der Moderator öffnet nun ein anderes Tor (z.B. Tor 3) und eine Ziege schaut verdutzt in die Kamera.

Nun fragt der Moderator, ob Sie ihre erste Auswahl (Tor 1) beibehalten möchten oder lieber wechseln und eine andere Auswahl (Tor 2) treffen möchten.

Wie würden Sie entscheiden? Erhöht der nachträgliche Wechsel Ihre Gewinnchance oder bleibt es bei der ursprünglichen Chance von 33,3% ?

Die Simulation

Ich habe mit einigen php-Codezeilen eine Simulation erstellt. Die Simulation nutzt die php-Funktion mt_rand() um „zufällig“ ein Tor zu wählen. Die nachfolgende Tabelle zeigt 50 zufällige Stichproben:

No.Gewinn
(Tor)
Kandidat
(1. Wahl)
Moderator
(öffnet Tor)
Kandidat
(2. Wahl)
13312
22312
32312
42132
51321
62132
72312
82312
92312
102132
111231
121321
131231
143312
152312
162312
172132
183321
191132
202231
212312
221321
231231
243123
253321
261321
273213
282312
292132
303312
312231
323321
333123
341321
351321
362312
373312
382132
391132
401231
413123
421132
431321
442213
453123
463123
473123
482132
491132
502132
1436
28.0 %72.0 %

Wie Sie sehen, würde der Wechsel (Spalte „2. Wahl“) Ihre Gewinnchance erhöhen. Im Gegensatz zur ursprünglichen Wahl (Spalte „1. Wahl“) erhöht sich Ihre Gewinnchance von ∅ 33,3% auf ∅ 66,6% und beträgt damit mehr als 50,0%.

Wenn Sie diesen Versuch nochmal ausführen möchten, dann laden Sie die Seite einfach neu. Oder starten Sie die Die Simulation ohne WordPress:

Erklärungsversuche

Die meisten Menschen würden nicht wechseln und ihre ursprüngliche Wahl beibehalten. Nachdem der Moderator ein Tor geöffnet hat, bleiben zwei Tore über. Hinter einem der beiden Tore muss der Gewinn warten und so denken die meisten Menschen, dass die Gewinnchance bei 1/2 bzw. 50% liegt. Nur wenige Menschen können sich vorstellen, dass ein Wechsel die Gewinnchance auf 2/3 bzw. 66,6% steigert. Die Simulation zeigt jedoch, dass sich die meisten Menschen irren.

2/3 = 0/3 + 2/3

Zu Beginn beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit je 1/3. Wenn der Kandidat sich bei der ersten Wahl für eines der drei Tore entscheidet, so rechnet er sich eine Gewinnchance von 1/3 aus. Die anderen beiden Tore ergeben somit eine 2/3 Gewinnchance, aber der Kandidat muss sich für ein Tor entscheiden.

Der Moderator öffnet immer ein Tor mit einer Ziege, also ein Tor mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 0/3 bzw. 0%. Weil beide Tore zusammen eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 haben, das geöffnete Tor jedoch nichts beiträgt, sollte der Kandidat unbedingt wechseln, denn das verbleibende Tor repräsentiert eine Gewinnchance von 2/3

Moderatorenpech

Der Moderator weiß wo der Gewinn versteckt ist und öffnet daher immer ein Tor mit einer Ziege! Wenn der Kandidat bei der ersten Wahl auf Anhieb das Gewinnertor mit dem Auto gewählt hätte, so hätte der Moderator im nächsten Schritt die Wahl zwischen zwei Verlierertoren. Ein nachträglicher Wechsel wäre für den Kandidaten nicht gut!

Wenn der Kandidat in der ersten Wahl jedoch eines der beiden Verlierertor wählen würde, so müsste der Moderator in beiden Fällen das verbleibende Verierertor mit Ziege öffnen. Das verbleibende Tor wäre immer das Gewinnertor! Der Kandidat hätte also bei einem Wechsel in zwei von drei Fällen eine sichere Gewinnchance!

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