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Das Zie­gen­pro­blem

    Das Zie­gen­pro­blem beschäf­tigt vie­le Hob­by­ma­the­ma­ti­ker, Sta­tis­ti­ker und Buch­au­toren. Der Autor Gero von Ran­dow hat im Rowohlt Taschen­buch Ver­lag das Buch Das Zie­gen­pro­blem – Den­ken in Wahr­schein­lich­kei­ten ver­öf­fent­licht. Das Buch han­gelt sich am Zie­gen­pro­blem ent­lang und erläu­tert in vie­len Bei­spie­len den rich­ti­gen Umgang mit Wahr­schein­lich­kei­ten.

    Das Pro­blem

    Eine Spiel­show im Fern­se­hen und Sie sind der Kan­di­dat:

    Der Haupt­ge­winn, ein Auto, ver­steckt sich hin­ter einem der drei Tore. Hin­ter den ande­ren bei­den Toren war­ten gedul­dig jeweils eine Zie­ge. Der Mode­ra­tor bit­tet Sie nun, ein Tor zu wäh­len. Sie wäh­len ein Tor (z.B. Tor 3) aus. Der Mode­ra­tor öff­net nun ein ande­res Tor (z.B. Tor 1) und eine Zie­ge schaut ver­dutzt in die Kame­ra.

    Nun fragt der Mode­ra­tor, ob Sie ihre ers­te Aus­wahl (Tor 3) bei­be­hal­ten möch­ten oder lie­ber wech­seln und eine ande­re Aus­wahl (Tor 2) tref­fen möch­ten.

    Wie wür­den Sie ent­schei­den? Erhöht der nach­träg­li­che Wech­sel Ihre Gewinn­chan­ce oder bleibt es bei der ursprüng­li­chen Chan­ce von 33,3% ?

    Die Simu­la­ti­on

    Ich habe mit eini­gen php-Code­zei­len eine Simu­la­ti­on erstellt. Die Simu­la­ti­on nutzt die php-Funk­ti­on mt_rand() um “zufäl­lig” ein Tor zu wäh­len. Die nach­fol­gen­de Tabel­le zeigt 50 zufäl­li­ge Stich­pro­ben:

    [2ndchoice]

    Wie Sie sehen, wür­de der Wech­sel (Spal­te “2. Wahl”) Ihre Gewinn­chan­ce erhö­hen. Im Gegen­satz zur ursprüng­li­chen Wahl (Spal­te “1. Wahl”) erhöht sich Ihre Gewinn­chan­ce von ∅ 33,3% auf ∅ 66,6% und beträgt damit mehr als 50,0%.

    Wenn Sie die­sen Ver­such noch­mal aus­füh­ren möch­ten, dann laden Sie die Sei­te ein­fach neu. Oder star­ten Sie die Die Simu­la­ti­on ohne Wor­d­Press:

    Erklä­rungs­ver­su­che

    Die meis­ten Men­schen wür­den nicht wech­seln und ihre ursprüng­li­che Wahl bei­be­hal­ten. Nach­dem der Mode­ra­tor ein Tor geöff­net hat, blei­ben zwei Tore über. Hin­ter einem der bei­den Tore muss der Gewinn war­ten und so den­ken die meis­ten Men­schen, dass die Gewinn­chan­ce nach wie vor bei 1/3 bzw. 33,3% liegt. Nur weni­ge Men­schen kön­nen sich vor­stel­len, dass ein Wech­sel die Gewinn­chan­ce auf 2/3 bzw. 66,6% ver­dop­pelt. Die Simu­la­ti­on zeigt jedoch, dass sich die meis­ten Men­schen irren.

    2/3 = 0/3 + 2/3

    Zu Beginn beträgt die Gewinn­wahr­schein­lich­keit je 1/3. Wenn der Kan­di­dat sich bei der ers­ten Wahl für eines der drei Tore ent­schei­det, so rech­net er sich eine Gewinn­chan­ce von 1/3 aus. Die ande­ren bei­den Tore erge­ben somit eine 2/3 Gewinn­chan­ce, aber der Kan­di­dat muss sich für ein Tor ent­schei­den.

    Der Mode­ra­tor öff­net immer ein Tor mit einer Zie­ge, also ein Tor mit einer Gewinn­wahr­schein­lich­keit von 0/3 bzw. 0%. Weil bei­de Tore zusam­men eine Gewinn­wahr­schein­lich­keit von 2/3 haben, das geöff­ne­te Tor jedoch nichts bei­trägt, soll­te der Kan­di­dat unbe­dingt wech­seln, denn das ver­blei­ben­de Tor reprä­sen­tiert eine Gewinn­chan­ce von 2/3

    Mode­ra­to­ren­pech

    Der Mode­ra­tor weiß wo der Gewinn ver­steckt ist und öff­net daher immer ein Tor mit einer Zie­ge! Wenn der Kan­di­dat bei der ers­ten Wahl auf Anhieb das Gewin­ner­tor mit dem Auto gewählt hät­te, so hät­te der Mode­ra­tor im nächs­ten Schritt die Wahl zwi­schen zwei Ver­lie­rer­to­ren. Ein nach­träg­li­cher Wech­sel wäre für den Kan­di­da­ten nicht gut!

    Wenn der Kan­di­dat in der ers­ten Wahl jedoch eines der bei­den Ver­lie­rer­tor wäh­len wür­de, so müss­te der Mode­ra­tor in bei­den Fäl­len das ver­blei­ben­de Verie­rer­tor mit Zie­ge öff­nen. Das ver­blei­ben­de Tor wäre immer das Gewin­ner­tor! Der Kan­di­dat hät­te also bei einem Wech­sel in zwei von drei Fäl­len eine siche­re Gewinn­chan­ce!

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